Guia de Cooperativa Vega Real

https://drive.google.com/file/d/1MaQ5xz6mQFP4bWc577mNl9zwQGgJlIil/view?usp=sharing 

 

Números pares e impares

Espacios de nombres

Números pares e impares Concepto: Se entiende como números pares los que son divisibles en grupos de dos y terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 y los impares los que no son divisibles en grupos de dos y terminan en 1, 3, 5, 7, 9.

Números Pares e impares. En matemática la paridad de un número entero se refiere a si éste es par o impar, es decir si este es divisible por grupos de dos.

Un número entero m es un número par si existe un número entero n tal que m = 2 × n ; diremos que un número par es múltiplo de dos; siguiendo esta definición siempre que multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos un nuevo número par.

A aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son múltiplos de 2 se les llama número impar. Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar. Si se le suma o resta una unidad a un número impar se obtiene otro número par. Un número entero, (m), es impar si y solo si existe otro número entero, (n), m = 2 × n + 1

Fórmulas generativas de pares

La forma de generar los múltiplos de 2 con números naturales es: 0+2=2, 2+2=4, 2+2+2=6, 2+2+2+2=8...etc, que viene a ser lo mismo que 2x1=2, 2x2=4, 2x3=6, 2x4=8..etc y asi con toda la serie de números naturales. Luego la serie consecutiva de pares es: 0,2,4,6,8..etc, hasta el infinito. Una fórmula general para crear pares con números naturales es: P=2n donde (n) es cualquier número natural. Para generar la serie consecutiva de pares, en la serie de número enteros, se hará igual que la natural, pero siendo (n) un número entero. Los enteros pares son: (-infinito)...(-6), (-4), (-2), 0, (+2), (+4), (+6) ...etc (+infinito)

Fórmulas generativas de impares

Como un impar es un par más 1, la fórmula general para crear impares, con números naturales es: I=2n+1 donde (n) es cualquier número natural. La serie consecutiva de impares será: 0+1=1, 2+1=3, 4+1=5...etc donde 1,3,5,7,...etc son impares. Para generar la serie consecutiva de impares, en la serie de número enteros, se hará igual que la natural, pero siendo (n) un número entero. Los enteros impares son: (-infinito)...(-5), (-3), (-1), 0, (+1), (+3), (+5 ) ...etc

Propiedades básicas de los pares

1. La sucesión de números pares pares : naturales pares { 0, 2 4, 6, ... }es infinita, igual que la de los enteros pares {0, 2, -2, 4, -4, 8, -6,... }
2. La sucesión de números pares pares : naturales pares { 0, 2 4, 6, ... } tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto N de los números naturales.
3. La sucesión de naturales pares - o múltiplos de pares 2- forman una progresión aritmética de razón 2 y primer término el cero .
4. El conjunto de los naturales pares con el conjunto de los naturales impares son disjuntos y su unión es el conjunto N . De otro modo es una partición de N = {0, 1, 2, 3, 4, ... }
5. El único número entero primo par es el 2, los demás pares son números compuestos , pues admiten más de dos divisores.
6. Dentro del conjunto de los naturales pares ordenados con la relación <, el 0 es el primero o el mínimo de todos ellos.
7. La suma o la diferencia ( si el minuendo >= sustraendo) de dos naturales pares es natural par. La potencia de de un natural par- con exponente natural no cero- es par.
8. El cociente de dos naturales pares ( divisor no cero) puede ser par, impar o no existir como número natural.
9. El cuadrado de un natural par es par; la raíz cuadrada de un número par- si existe en N- es par.
10. k2 es número par si sólo si k es número par [1].

Propiedades básicas de los impares

1.-La serie impar es infinita (ya que lo es la par y todo impar es igual un Par+1. 2.-El primer número impar es el 1 (en la serie natural). 3.-La serie impar es la par más la unidad y forman una progresión aritmética de razón 2 y primer término el 1 (dentro de la serie natural). 4.-La mitad de los números naturales y enteros son impares y la otra son pares. 5.-La serie infinita de los números primos, menos el 2, están incluidos en la serie impar (sino fuera así habría primos en la serie par, cosa ilógica, ya que los pares son múltiplos de 2 y divisibles por este).

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES

Suna o adición de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.

Interna: a + b 

2.

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3.

Conmutativa: a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4.

Elemento neutro: a + 0 = a

3 + 0 = 3

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1.

No es una operación interna

2 − 5  

2.

No es Conmutativa

5 − 2 ≠ 2 − 5

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1.

Interna: a · b 

2.

Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

3.

Conmutativa: a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

4.

Elemento neutro: a · 1 = a

3 · 1 = 3

5.

Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6.

Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1.

División exacta 

          15 = 5 · 3

2.

División entera

            17 = 5 · 3 + 2

3.

No es una operación interna

2 : 6  

4.

No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

5.

Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

6.

No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

1.

a0 = 1

2.

a1 = a

3.

Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n

25 · 22 = 25+2 = 27

4.

Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

5.

Potencia de una potencia: (am)n = am · n  

(25)3 = 215 

6.

Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

7.

Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n

63 : 33 = 23

LOS NUMEROS NATURALES

                                      AREA DE MATEMATICAS

           TEMA: LOS NUMEROS NATURALES                GRADO: 6TO

DOCENTE: LIC.JUAN B. ROSARIO                    FECHA: 16 DE MARZO, 2021

         

 Historia De Los Números Naturales

Son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, “Números naturales” para distinguirlos de otros números, como “un medio”, “cuatro tercios”, “tres punto siete”, “menos cinco”; es decir, de los números fraccionarios (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los números negativos (-5).  Los Números Naturales son muy útiles, pues con ellos se pueden organizar los objetos, las personas, los animales y las cosas. También permiten contar los objetos que hay en un sitio o en un tiempo determinado. El conjunto de los Números Naturales se denota con la letra mayúscula “N”. Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano uso otros método para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas o simplemente los dedos. Mas adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado mas tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.  Quien coloco al conjunto de los números naturales  sobre lo que comenzaba a ser una base solida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX . Este los derivo de una serie de postulados ( lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta ), que después preciso Peano  dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios mas fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales.                                                                         ¿QUIEN INVENTO LOS NÚMEROS NATURALES? Los números naturales fueron inventados por un matemático llamado Kroenecker el cual dijo una vez: "Dios creo los números naturales, lo demás es obra del hombre". Los números naturales fueron concebidos por muchas civilizaciones en todo el mundo. Los mayas,los griegos, los chinos, etc. Inclusive hay evidencia fósil que sugiere que los primeros hombres entendían los números y los usaban  para contar ganado, los días que faltaban para la luna llena y la menstruación.                                                                                          ¿PARA QUE SIRVEN LOS NÚMEROS NATURALES? Son los números naturales sirven para contar:1,2,3... son infinitos y forman un conjunto que se denomina N. Están ordenados, lo que permiten representarlos sobre una recta cuyo origen es el 0, que también puede considerarse incluido en el conjunto.                                                                                                                                      La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto. EN ESTE ENLACE, PUEDES AMPLIAR MAS SOBRE EL TEMA:https://es.slideshare.net/pedro856/historia-de-los-nmeros-naturales-13963357